Integral de (sqrt2x+sqrt1)^-1 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt{2 x} + \sqrt{1}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x} + 1}$

   2. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u}{\sqrt{2} u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{\sqrt{2} u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{\sqrt{2} u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{\sqrt{2} u + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2 \left(\sqrt{2} u + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{\sqrt{2}}{2}\, du = \frac{\sqrt{2} u}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\sqrt{2}}{2 \left(\sqrt{2} u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{2} u + 1}\, du}{2}$

               1. que $u = \sqrt{2} u + 1$.

                  Luego que $du = \sqrt{2} du$ y ponemos $\frac{\sqrt{2} du}{2}$:

                  $\int \frac{\sqrt{2}}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} u + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\sqrt{2} u + 1 \right)}}{2}$

            El resultado es: $\frac{\sqrt{2} u}{2} - \frac{\log{\left(\sqrt{2} u + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} u - \log{\left(\sqrt{2} u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{2} \sqrt{x} - \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} + 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt{2 x} + \sqrt{1}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x} + 1}$

   2. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u}{\sqrt{2} u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{\sqrt{2} u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{\sqrt{2} u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{\sqrt{2} u + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2 \left(\sqrt{2} u + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{\sqrt{2}}{2}\, du = \frac{\sqrt{2} u}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\sqrt{2}}{2 \left(\sqrt{2} u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{2} u + 1}\, du}{2}$

               1. que $u = \sqrt{2} u + 1$.

                  Luego que $du = \sqrt{2} du$ y ponemos $\frac{\sqrt{2} du}{2}$:

                  $\int \frac{\sqrt{2}}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} u + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\sqrt{2} u + 1 \right)}}{2}$

            El resultado es: $\frac{\sqrt{2} u}{2} - \frac{\log{\left(\sqrt{2} u + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} u - \log{\left(\sqrt{2} u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{2} \sqrt{x} - \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{2} \sqrt{x} - \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{2} \sqrt{x} - \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$