Integral de x^3(2-x^4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{4}$.

      Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u}{4}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{8}$

         El resultado es: $- \frac{u^{2}}{8} + \frac{u}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{8}}{8} + \frac{x^{4}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(2 - x^{4}\right) = - x^{7} + 2 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{7}\right)\, dx = - \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{x^{8}}{8} + \frac{x^{4}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(4 - x^{4}\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(4 - x^{4}\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(4 - x^{4}\right)}{8}+ \mathrm{constant}$