Integral de x^2/((x-1)*sqrt(x-1)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\sqrt{x - 1} \left(x - 1\right)} = \frac{x^{2}}{x \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1}}$

   2. que $u = \sqrt{x - 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 1}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \left(u^{2} + 1\right)^{2}}{u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}{u^{2}} = u^{2} + 2 + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, du = 2 u$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + 2 u - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} + 4 u - \frac{2}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 4 \sqrt{x - 1} - \frac{2}{\sqrt{x - 1}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\sqrt{x - 1} \left(x - 1\right)} = \frac{x^{2}}{x \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1}}$

   2. que $u = \sqrt{x - 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 1}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \left(u^{2} + 1\right)^{2}}{u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\left(u^{2} + 1\right)^{2}}{u^{2}} = u^{2} + 2 + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, du = 2 u$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + 2 u - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} + 4 u - \frac{2}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 4 \sqrt{x - 1} - \frac{2}{\sqrt{x - 1}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(\left(x - 1\right) \left(x + 5\right) - 3\right)}{3 \sqrt{x - 1}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(\left(x - 1\right) \left(x + 5\right) - 3\right)}{3 \sqrt{x - 1}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(\left(x - 1\right) \left(x + 5\right) - 3\right)}{3 \sqrt{x - 1}}+ \mathrm{constant}$