Integral de 2(x-1)*ln(x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x - 1$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u \log{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u \log{\left(u \right)}\, du = 2 \int u \log{\left(u \right)}\, du$

         1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} \log{\left(u \right)} - \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} = 2 x \log{\left(x - 1 \right)} - 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \log{\left(x - 1 \right)}\right)\, dx = - 2 \int \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

            3. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               El resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x - 2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - 2$

      El resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - 2$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x - 2$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

         El resultado es: $x^{2} - 2 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} = x - 1 - \frac{1}{x - 1}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} = 2 x \log{\left(x - 1 \right)} - 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \log{\left(x - 1 \right)}\right)\, dx = - 2 \int \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x - 2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - 2$

      El resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - 2$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x - 1\right)^{2} \left(\log{\left(x - 1 \right)} - \frac{1}{2}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x - 1\right)^{2} \left(\log{\left(x - 1 \right)} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x - 1\right)^{2} \left(\log{\left(x - 1 \right)} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$