Integral de (2x-1)ln(x-1) dx

Solución

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 |  (2*x - 1)*log(x - 1) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(2 x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$$

Integral((2*x - 1)*log(x - 1), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(2 x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} = 2 x \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 2 x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx}{2}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$
      
      Integramos término a término:
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
      
      que $u = x - 1$ .
      
      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \log{\left(x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$
    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = x - 1$ .
      
      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \log{\left(u \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1$
      
      Método #2
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
      
      que $u = x - 1$ .
      
      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      El resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $x - \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - 1$
  El resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - 1$
Método #2
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x - 1$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$
    El resultado es: $x^{2} - x$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. que $u = - x$ .
  
  Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int u\, du$
  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
    
    $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{x^{2}}{2}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(2 x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} = 2 x \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 2 x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx}{2}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$
      
      Integramos término a término:
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
      
      que $u = x - 1$ .
      
      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \log{\left(x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$
    1. que $u = x - 1$ .
      
      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \log{\left(u \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1$
    Por lo tanto, el resultado es: $x - \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - 1$
  El resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - 1$
Ahora simplificar:

$x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - x \log{\left(x - 1 \right)} - 1$
Añadimos la constante de integración:

$x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - x \log{\left(x - 1 \right)} - 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - x \log{\left(x - 1 \right)} - 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                  2                                        
 |                                                  x     2                                   
 | (2*x - 1)*log(x - 1) dx = -1 + C - log(-1 + x) - -- + x *log(-1 + x) - (-1 + x)*log(-1 + x)
 |                                                  2                                         
/

$$\int \left(2 x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}\, dx = C + x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - 1$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

-1/2

Respuesta numérica [src]

(-0.5 + 3.95502103513982e-23j)

(-0.5 + 3.95502103513982e-23j)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (2x-1)ln(x-1) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #2

Método #3