Integral de 2(x-1)*ln(x-1)+((x-1)^3)/3-3(x-1)^2-2x+4 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 \left(x - 1\right)^{2}\right)\, dx = - 3 \int \left(x - 1\right)^{2}\, dx$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\left(x - 1\right)^{3}}{3}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(x - 1\right)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

                     1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, dx = x$

                  El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \left(x - 1\right)^{3}$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\left(x - 1\right)^{3}}{3}\, dx = \frac{\int \left(x - 1\right)^{3}\, dx}{3}$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $2 du$:

                  $\int 2 u \log{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u \log{\left(u \right)}\, du = 2 \int u \log{\left(u \right)}\, du$

                     1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

                        Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                        $\int u e^{2 u}\, du$

                        1. Usamos la integración por partes:

                           $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                           que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

                           Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                           Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                           1. que $u = 2 u$.

                              Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                              $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\text{False}$

                                 1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                                    $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{e^{2 u}}{2}$

                           Ahora resolvemos podintegral.

                        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

                           1. que $u = 2 u$.

                              Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                              $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\text{False}$

                                 1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                                    $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{e^{2 u}}{2}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} \log{\left(u \right)} - \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{2}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} = 2 x \log{\left(x - 1 \right)} - 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 2 x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$

                     1. Usamos la integración por partes:

                        $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                        que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

                        Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

                        Para buscar $v{\left(x \right)}$:

                        1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                        Ahora resolvemos podintegral.

                     2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx}{2}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, dx = x$

                           1. que $u = x - 1$.

                              Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                              $\int \frac{1}{u}\, du$

                              1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\log{\left(x - 1 \right)}$

                           El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 2 \log{\left(x - 1 \right)}\right)\, dx = - 2 \int \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$

                     1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                        Método #1

                        1. que $u = x - 1$.

                           Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                           $\int \log{\left(u \right)}\, du$

                           1. Usamos la integración por partes:

                              $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                              que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                              Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                              Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                                 $\int 1\, du = u$

                              Ahora resolvemos podintegral.

                           2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1$

                        Método #2

                        1. Usamos la integración por partes:

                           $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                           que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

                           Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

                           Para buscar $v{\left(x \right)}$:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, dx = x$

                           Ahora resolvemos podintegral.

                        2. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

                        3. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, dx = x$

                           1. que $u = x - 1$.

                              Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                              $\int \frac{1}{u}\, du$

                              1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\log{\left(x - 1 \right)}$

                           El resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $2 x - 2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - 2$

                  El resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - 2$

               Método #3

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x - 2$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

                  Para buscar $v{\left(x \right)}$:

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

                        1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

                     El resultado es: $x^{2} - 2 x$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} = x - 1 - \frac{1}{x - 1}$

               3. Integramos término a término:

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

                     1. que $u = x - 1$.

                        Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(x - 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

                  El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

               Método #4

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} = 2 x \log{\left(x - 1 \right)} - 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 2 x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$

                     1. Usamos la integración por partes:

                        $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                        que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

                        Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

                        Para buscar $v{\left(x \right)}$:

                        1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                        Ahora resolvemos podintegral.

                     2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx}{2}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, dx = x$

                           1. que $u = x - 1$.

                              Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                              $\int \frac{1}{u}\, du$

                              1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\log{\left(x - 1 \right)}$

                           El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 2 \log{\left(x - 1 \right)}\right)\, dx = - 2 \int \log{\left(x - 1 \right)}\, dx$

                     1. que $u = x - 1$.

                        Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                        $\int \log{\left(u \right)}\, du$

                        1. Usamos la integración por partes:

                           $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                           que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                           Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                           Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           Ahora resolvemos podintegral.

                        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1$

                     Por lo tanto, el resultado es: $2 x - 2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - 2$

                  El resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2 \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - 2$

            El resultado es: $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12} + \left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12} - \left(x - 1\right)^{3} + \left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{2}$

      El resultado es: $- x^{2} + \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12} - \left(x - 1\right)^{3} + \left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{2}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 4\, dx = 4 x$

   El resultado es: $- x^{2} + 4 x + \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12} - \left(x - 1\right)^{3} + \left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- x^{2} + 4 x + \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12} - \left(x - 1\right)^{3} + \left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x^{2} + 4 x + \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12} - \left(x - 1\right)^{3} + \left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x^{2} + 4 x + \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12} - \left(x - 1\right)^{3} + \left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$