Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x+1)/ ln(x+1)/(x+1)^3

Integral de ln(x+1)/(x+1)^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |  log(x + 1)   
 |  ---------- dx
 |          3    
 |   (x + 1)     
 |               
/                
0
∫01log⁡(x+1)(x+1)3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx 
Integral(log(x + 1)/(x + 1)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x+1)u = \log{\left(x + 1 \right)}.

      Luego que du=dxx+1du = \frac{dx}{x + 1} y ponemos dudu:

      ∫ue−2u du\int u e^{- 2 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e−2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−2uu = - 2 u.

          Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e−2u2) du=−∫e−2u du2\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}

        1. que u=−2uu = - 2 u.

          Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e−2u4\frac{e^{- 2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(x+1)2(x+1)2−14(x+1)2- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x+1)(x+1)3=log⁡(x+1)x3+3x2+3x+1\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{3}} = \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)} y que dv⁡(x)=1x3+3x2+3x+1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}.

      Entonces du⁡(x)=1x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1x3+3x2+3x+1=1(x+1)3\frac{1}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}

      2. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12(x+1)2- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−12(x+1)3) dx=−∫1(x+1)3 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx}{2}

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12(x+1)2- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 14(x+1)2\frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{2}}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)} y que dv⁡(x)=1(x+1)3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}.

      Entonces du⁡(x)=1x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12(x+1)2- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−12(x+1)(x+1)2) dx=−∫1(x+1)(x+1)2 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\, dx}{2}

      1. que u=1(x+1)2u = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}.

        Luego que du=−2dx(x+1)3du = - \frac{2 dx}{\left(x + 1\right)^{3}} y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−12) du\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Por lo tanto, el resultado es: −u2- \frac{u}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12(x+1)2- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 14(x+1)2\frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{2}}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x+1)(x+1)3=log⁡(x+1)x3+3x2+3x+1\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{3}} = \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)} y que dv⁡(x)=1x3+3x2+3x+1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}.

      Entonces du⁡(x)=1x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1x3+3x2+3x+1=1(x+1)3\frac{1}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}

      2. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12(x+1)2- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−12(x+1)(x+1)2) dx=−∫1(x+1)(x+1)2 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\, dx}{2}

      1. que u=1(x+1)2u = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}.

        Luego que du=−2dx(x+1)3du = - \frac{2 dx}{\left(x + 1\right)^{3}} y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−12) du\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Por lo tanto, el resultado es: −u2- \frac{u}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12(x+1)2- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 14(x+1)2\frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    −2log⁡(x+1)+14(x+1)2- \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1}{4 \left(x + 1\right)^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2log⁡(x+1)+14(x+1)2+constant- \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1}{4 \left(x + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2log⁡(x+1)+14(x+1)2+constant- \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1}{4 \left(x + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                            
 | log(x + 1)              1        log(x + 1)
 | ---------- dx = C - ---------- - ----------
 |         3                    2            2
 |  (x + 1)            4*(x + 1)    2*(x + 1) 
 |                                            
/
∫log⁡(x+1)(x+1)3 dx=C−log⁡(x+1)2(x+1)2−14(x+1)2\int \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{2}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
3    log(2)
-- - ------
16     8
316−log⁡(2)8\frac{3}{16} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{8} 
=
= 
3    log(2)
-- - ------
16     8
316−log⁡(2)8\frac{3}{16} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{8} 
3/16 - log(2)/8
Respuesta numérica [src] 
0.100856602430007
0.100856602430007

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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