Integral de 3√xlnx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $6 du$:

      $\int 6 u^{2} \log{\left(u^{2} \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2} \log{\left(u^{2} \right)}\, du = 6 \int u^{2} \log{\left(u^{2} \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = u^{2}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 u^{2}}{3}\, du = \frac{2 \int u^{2}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{3} \log{\left(u^{2} \right)} - \frac{4 u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 3 \sqrt{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sqrt{x}\, dx = 3 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{\frac{3}{2}}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sqrt{x}\, dx = 2 \int \sqrt{x}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $x^{\frac{3}{2}} \left(2 \log{\left(x \right)} - \frac{4}{3}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x^{\frac{3}{2}} \left(2 \log{\left(x \right)} - \frac{4}{3}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{\frac{3}{2}} \left(2 \log{\left(x \right)} - \frac{4}{3}\right)+ \mathrm{constant}$