Integral de cos(2*x)/x*e^3x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du e^{3}}{2}$:

      $\int \frac{e^{3} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{3} \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3} \sin{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{3} \sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du e^{3}$:

      $\int \left(- \frac{e^{3} \cos{\left(\frac{2}{u} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(\frac{2}{u} \right)}}{u^{2}}\, du = - e^{3} \int \frac{\cos{\left(\frac{2}{u} \right)}}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = \frac{2}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{2 du}{u^{2}}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin{\left(\frac{2}{u} \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3} \sin{\left(\frac{2}{u} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{3} \sin{\left(2 x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{3} \sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{3} \sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$