Integral de ln(5x-2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x - 2$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{5} - \frac{u}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x + \frac{\left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} + \frac{2}{5}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(5 x - 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{5}{5 x - 2}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5 x}{5 x - 2}\, dx = 5 \int \frac{x}{5 x - 2}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{5 x - 2} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5 \left(5 x - 2\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{5}\, dx = \frac{x}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{5 \left(5 x - 2\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{5 x - 2}\, dx}{5}$

            1. que $u = 5 x - 2$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{1}{5 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(5 x - 2 \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25}$

         El resultado es: $\frac{x}{5} + \frac{2 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{25}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x + \frac{2 \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $- x + \frac{\left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} + \frac{2}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x + \frac{\left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} + \frac{2}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + \frac{\left(5 x - 2\right) \log{\left(5 x - 2 \right)}}{5} + \frac{2}{5}+ \mathrm{constant}$