Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- x*(- uno +sqrt(x/(- dos +x)))
- x multiplicar por ( menos 1 más raíz cuadrada de (x dividir por ( menos 2 más x)))
- x multiplicar por ( menos uno más raíz cuadrada de (x dividir por ( menos dos más x)))
- x*(-1+√(x/(-2+x)))
- x(-1+sqrt(x/(-2+x)))
- x-1+sqrtx/-2+x
- x*(-1+sqrt(x dividir por (-2+x)))
-
Expresiones semejantes
- x*(-1-sqrt(x/(-2+x)))
- x*(1+sqrt(x/(-2+x)))
- x*(-1+sqrt(x/(2+x)))
- x*(-1+sqrt(x/(-2-x)))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
Límite de la función x*(-1+sqrt(x/(-2+x)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / ________\\
| | / x ||
lim |x*|-1 + / ------ ||
x->oo\ \ \/ -2 + x //
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right)$$
Limit(x*(-1 + sqrt(x/(-2 + x))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)^{2}}{\sqrt{\frac{x}{x - 2}} \left(x - 2\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} - 4 x + 4\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\right) \left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x - 2} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 2}} + x} + \frac{2}{\frac{x^{2}}{x - 2} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 2}} + x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} - 4 x + 4\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\right) \left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x - 2} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 2}} + x} + \frac{2}{\frac{x^{2}}{x - 2} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 2}} + x}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)^{2}}{\sqrt{\frac{x}{x - 2}} \left(x - 2\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} - 4 x + 4\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\right) \left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x - 2} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 2}} + x} + \frac{2}{\frac{x^{2}}{x - 2} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 2}} + x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} - 4 x + 4\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\right) \left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x - 2} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 2}} + x} + \frac{2}{\frac{x^{2}}{x - 2} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x - 2}} + x}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = -1 + i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = -1 + i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = -1 + i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = -1 + i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x - 2}} - 1\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo