Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +cos(tres *x))/x^ dos
- ( menos 1 más coseno de (3 multiplicar por x)) dividir por x al cuadrado
- ( menos uno más coseno de (tres multiplicar por x)) dividir por x en el grado dos
- (-1+cos(3*x))/x2
- -1+cos3*x/x2
- (-1+cos(3*x))/x²
- (-1+cos(3*x))/x en el grado 2
- (-1+cos(3x))/x^2
- (-1+cos(3x))/x2
- -1+cos3x/x2
- -1+cos3x/x^2
- (-1+cos(3*x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (-1-cos(3*x))/x^2
- (1+cos(3*x))/x^2
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/(-1+x)
- cos(x)/cos(2*x)
- cos(pi*x)^(sin(pi*x)/x)
- cos(-1+e^(x^2))/(-1+cos(x))
- cos(2*pi/x)/(-1+3*x)
Límite de la función (-1+cos(3*x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/-1 + cos(3*x)\
lim |-------------|
x->oo| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
Limit((-1 + cos(3*x))/x^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Sustituimos
$$u = \frac{3 x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2} = - 2 \left(\frac{3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}$$
=
$$- 2 \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$
=
$$- \frac{9}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{9}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Sustituimos
$$u = \frac{3 x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2} = - 2 \left(\frac{3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}$$
=
$$- 2 \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$
=
$$- \frac{9}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{9}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/-1 + cos(3*x)\
lim |-------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
-9/2
$$- \frac{9}{2}$$
= -4.5
/-1 + cos(3*x)\
lim |-------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
-9/2
$$- \frac{9}{2}$$
= -4.5
= -4.5
Gráfico