Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ dos)-sqrt(cuatro +x^ dos)
- raíz cuadrada de (x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (4 más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (cuatro más x en el grado dos)
- √(x^2)-√(4+x^2)
- sqrt(x2)-sqrt(4+x2)
- sqrtx2-sqrt4+x2
- sqrt(x²)-sqrt(4+x²)
- sqrt(x en el grado 2)-sqrt(4+x en el grado 2)
- sqrtx^2-sqrt4+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^2)+sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2)-sqrt(4-x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
- sqrt(-1+x^2)-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
- sqrt(-1+x^2)-x
Límite de la función sqrt(x^2)-sqrt(4+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ x - \/ 4 + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
Limit(sqrt(x^2) - sqrt(4 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + 4}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2}}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(- x^{2} - 4\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{x \left(\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{x \left(\sqrt{\frac{x^{2} + 4}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{x \left(\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{x \left(\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{4 u}{\sqrt{4 u^{2} + 1} + 1}\right)$$ =
= $$- \frac{0}{1 + \sqrt{4 \cdot 0^{2} + 1}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + 4}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2}}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(- x^{2} - 4\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{x \left(\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{x \left(\sqrt{\frac{x^{2} + 4}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{x \left(\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4}{x \left(\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{4 u}{\sqrt{4 u^{2} + 1} + 1}\right)$$ =
= $$- \frac{0}{1 + \sqrt{4 \cdot 0^{2} + 1}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo