Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
- Gráfico de la función y =:
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x^ dos)-sqrt(x^ dos - cuatro *x)
- raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (x al cuadrado menos 4 multiplicar por x)
- raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x)
- √(1+x^2)-√(x^2-4*x)
- sqrt(1+x2)-sqrt(x2-4*x)
- sqrt1+x2-sqrtx2-4*x
- sqrt(1+x²)-sqrt(x²-4*x)
- sqrt(1+x en el grado 2)-sqrt(x en el grado 2-4*x)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4x)
- sqrt(1+x2)-sqrt(x2-4x)
- sqrt1+x2-sqrtx2-4x
- sqrt1+x^2-sqrtx^2-4x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+4*x)
- sqrt(1+x^2)+sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(1-x^2)-sqrt(x^2-4*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
- sqrt(2+x^2-3*x)-x
- sqrt(-1+x^2)-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
- sqrt(2+x^2-3*x)-x
- sqrt(-1+x^2)-x
Límite de la función sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ __________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + x - \/ x - 4*x /
x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x^2) - sqrt(x^2 - 4*x), x, -oo)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} - 4 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) + \left(x^{2} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 4 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} - 4 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{4}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{4}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u + 4}{\sqrt{1 - 4 u} + \sqrt{u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{4}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{1 - 0}} = -2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} - 4 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) + \left(x^{2} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 4 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} - 4 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{4}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{4}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u + 4}{\sqrt{1 - 4 u} + \sqrt{u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{4}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{1 - 0}} = -2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = -2$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = 2$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = 2$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
Gráfico