Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((7-6*x+3*x^2)/(-1+3*x^2+20*x))^(1-x)
-
Límite de (-8+3*x^2+5*x)/(-5+2*x^2+3*x)
-
Límite de (1-4*x+3*x^2)/(-7+2*x^2+5*x)
-
Límite de ((2+3*x)/(-4+3*x))^(-7+2*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ dos +a*x)-sqrt(x^ dos +b*x)
- raíz cuadrada de (x al cuadrado más a multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (x al cuadrado más b multiplicar por x)
- raíz cuadrada de (x en el grado dos más a multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (x en el grado dos más b multiplicar por x)
- √(x^2+a*x)-√(x^2+b*x)
- sqrt(x2+a*x)-sqrt(x2+b*x)
- sqrtx2+a*x-sqrtx2+b*x
- sqrt(x²+a*x)-sqrt(x²+b*x)
- sqrt(x en el grado 2+a*x)-sqrt(x en el grado 2+b*x)
- sqrt(x^2+ax)-sqrt(x^2+bx)
- sqrt(x2+ax)-sqrt(x2+bx)
- sqrtx2+ax-sqrtx2+bx
- sqrtx^2+ax-sqrtx^2+bx
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^2+a*x)+sqrt(x^2+b*x)
- sqrt(x^2-a*x)-sqrt(x^2+b*x)
- sqrt(x^2+a*x)-sqrt(x^2-b*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^4+2*x^3)-2*x^2/(-1+x)
- sqrt(x)/25
- sqrt((4+x)*(7+x))-x
- sqrt(4+x^2)-sqrt(x+x^2)
- sqrt((6+x^2)/sqrt(2+x^2))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^4+2*x^3)-2*x^2/(-1+x)
- sqrt(x)/25
- sqrt((4+x)*(7+x))-x
- sqrt(4+x^2)-sqrt(x+x^2)
- sqrt((6+x^2)/sqrt(2+x^2))
Límite de la función sqrt(x^2+a*x)-sqrt(x^2+b*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________ __________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ x + a*x - \/ x + b*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right)$$
Limit(sqrt(x^2 + a*x) - sqrt(x^2 + b*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) \left(\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}\right)}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{a x + x^{2}}\right)^{2} - \left(\sqrt{b x + x^{2}}\right)^{2}}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(a x + x^{2}\right) + \left(- b x - x^{2}\right)}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a x - b x}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\frac{\sqrt{a x + x^{2}}}{x} + \frac{\sqrt{b x + x^{2}}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\sqrt{\frac{a x + x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{b x + x^{2}}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\sqrt{\frac{a}{x} + 1} + \sqrt{\frac{b}{x} + 1}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\sqrt{\frac{a}{x} + 1} + \sqrt{\frac{b}{x} + 1}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a - b}{\sqrt{a u + 1} + \sqrt{b u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{a - b}{\sqrt{0 a + 1} + \sqrt{0 b + 1}} = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) \left(\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}\right)}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{a x + x^{2}}\right)^{2} - \left(\sqrt{b x + x^{2}}\right)^{2}}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(a x + x^{2}\right) + \left(- b x - x^{2}\right)}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a x - b x}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\frac{\sqrt{a x + x^{2}}}{x} + \frac{\sqrt{b x + x^{2}}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\sqrt{\frac{a x + x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{b x + x^{2}}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\sqrt{\frac{a}{x} + 1} + \sqrt{\frac{b}{x} + 1}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\sqrt{\frac{a}{x} + 1} + \sqrt{\frac{b}{x} + 1}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a - b}{\sqrt{a u + 1} + \sqrt{b u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{a - b}{\sqrt{0 a + 1} + \sqrt{0 b + 1}} = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \sqrt{a + 1} - \sqrt{b + 1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \sqrt{a + 1} - \sqrt{b + 1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = - \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \sqrt{a + 1} - \sqrt{b + 1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \sqrt{a + 1} - \sqrt{b + 1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = - \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$$
Más detalles con x→-oo