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Límite de la función/ sqrt(x^2+a*x)-sqrt(x^2+b*x)

Límite de la función sqrt(x^2+a*x)-sqrt(x^2+b*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   __________      __________\
     |  /  2            /  2       |
 lim \\/  x  + a*x  - \/  x  + b*x /
x->oo
lim⁡x→∞(ax+x2−bx+x2)\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) 
Limit(sqrt(x^2 + a*x) - sqrt(x^2 + b*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→∞(ax+x2−bx+x2)\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right)
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
ax+x2+bx+x2\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}
entonces
lim⁡x→∞(ax+x2−bx+x2)\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right)
=
lim⁡x→∞((ax+x2−bx+x2)(ax+x2+bx+x2)ax+x2+bx+x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) \left(\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}\right)}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)
=
lim⁡x→∞((ax+x2)2−(bx+x2)2ax+x2+bx+x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{a x + x^{2}}\right)^{2} - \left(\sqrt{b x + x^{2}}\right)^{2}}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)
=
lim⁡x→∞((ax+x2)+(−bx−x2)ax+x2+bx+x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(a x + x^{2}\right) + \left(- b x - x^{2}\right)}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)
=
lim⁡x→∞(ax−bxax+x2+bx+x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a x - b x}{\sqrt{a x + x^{2}} + \sqrt{b x + x^{2}}}\right)

Dividimos el numerador y el denominador por x:
lim⁡x→∞(a−bax+x2x+bx+x2x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\frac{\sqrt{a x + x^{2}}}{x} + \frac{\sqrt{b x + x^{2}}}{x}}\right) =
lim⁡x→∞(a−bax+x2x2+bx+x2x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\sqrt{\frac{a x + x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{b x + x^{2}}{x^{2}}}}\right) =
lim⁡x→∞(a−bax+1+bx+1)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\sqrt{\frac{a}{x} + 1} + \sqrt{\frac{b}{x} + 1}}\right)
Sustituimos
u=1xu = \frac{1}{x}
entonces
lim⁡x→∞(a−bax+1+bx+1)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a - b}{\sqrt{\frac{a}{x} + 1} + \sqrt{\frac{b}{x} + 1}}\right) =
lim⁡u→0+(a−bau+1+bu+1)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a - b}{\sqrt{a u + 1} + \sqrt{b u + 1}}\right) =
= a−b0a+1+0b+1=a2−b2\frac{a - b}{\sqrt{0 a + 1} + \sqrt{0 b + 1}} = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→∞(ax+x2−bx+x2)=a2−b2\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Respuesta rápida [src] 
a   b
- - -
2   2
a2−b2\frac{a}{2} - \frac{b}{2}
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→∞(ax+x2−bx+x2)=a2−b2\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}
lim⁡x→0−(ax+x2−bx+x2)=0\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(ax+x2−bx+x2)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(ax+x2−bx+x2)=a+1−b+1\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \sqrt{a + 1} - \sqrt{b + 1}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(ax+x2−bx+x2)=a+1−b+1\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = \sqrt{a + 1} - \sqrt{b + 1}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(ax+x2−bx+x2)=−a2+b2\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{a x + x^{2}} - \sqrt{b x + x^{2}}\right) = - \frac{a}{2} + \frac{b}{2}
Más detalles con x→-oo
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