Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} 2^{- x} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 0 vez (veces)