Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \log{\left(1 - x \right)}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \log{\left(1 - x \right)}}{4 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \log{\left(1 - x \right)}}{4 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x + \log{\left(1 - x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{1 - x}}{8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(-1 - \frac{1}{1 - x}\right)}{\frac{d}{d x} 8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{8 \left(x^{2} - 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{8 \left(x^{2} - 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)