Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\pi x + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\pi x + 1 \right)}}{\pi x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\pi x + 1 \right)}}{\pi x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\pi x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \pi x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\pi x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\pi x + 1}$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)