Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(4 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(4 x \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(4 x \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 4}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 4\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(8 \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 8\right) \tan{\left(4 x \right)}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{16 \tan{\left(4 x \right)}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{16 \tan{\left(4 x \right)}}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)