Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \log{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)