Sr Examen

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(-x+tan(x))/(x+2*sin(x))
Límite de la función/ sin(x)/ tan(x)/ (-x+tan(x))/(x+2*sin(x))

Límite de la función (-x+tan(x))/(x+2*sin(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /-x + tan(x) \
 lim |------------|
x->0+\x + 2*sin(x)/
lim⁡x→0+(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right) 
Limit((-x + tan(x))/(x + 2*sin(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(−x+tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \tan{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(x+2sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(x + 2 \sin{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−x+tan⁡(x))ddx(x+2sin⁡(x)))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x + \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 2 \sin{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(tan⁡2(x)2cos⁡(x)+1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxtan⁡2(x)ddx(2cos⁡(x)+1))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(−(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)2sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−tan⁡(x))ddxsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−tan⁡2(x)−1cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−tan⁡2(x)−1cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2020
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /-x + tan(x) \
 lim |------------|
x->0+\x + 2*sin(x)/
lim⁡x→0+(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right) 
0
00 
= -4.72324115407374e-31
     /-x + tan(x) \
 lim |------------|
x->0-\x + 2*sin(x)/
lim⁡x→0−(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right) 
0
00 
= -4.72324115407374e-31
= -4.72324115407374e-31
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right) = 0
lim⁡x→∞(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))=−1+tan⁡(1)1+2sin⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + \tan{\left(1 \right)}}{1 + 2 \sin{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))=−1+tan⁡(1)1+2sin⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + \tan{\left(1 \right)}}{1 + 2 \sin{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−x+tan⁡(x)x+2sin⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \tan{\left(x \right)}}{x + 2 \sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
-4.72324115407374e-31
-4.72324115407374e-31
Gráfico
Límite de la función (-x+tan(x))/(x+2*sin(x))
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