Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de x/sin(14*x)
-
Expresiones idénticas
- x*log(uno +x^(- dos))
- x multiplicar por logaritmo de (1 más x en el grado ( menos 2))
- x multiplicar por logaritmo de (uno más x en el grado ( menos dos))
- x*log(1+x(-2))
- x*log1+x-2
- xlog(1+x^(-2))
- xlog(1+x(-2))
- xlog1+x-2
- xlog1+x^-2
-
Expresiones semejantes
- x*log(1+x^(2))
- x*log(1-x^(-2))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x^2)/(1-sqrt(1+x^2))
- log(cos(3*x))/log(cos(5*x))
- log(1+sin(x))/sin(x)^4
- log(1+k*x)/x
- log(x)/(1+x^2)
Límite de la función x*log(1+x^(-2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 1 \\
lim |x*log|1 + --||
x->oo| | 2||
\ \ x //
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right)$$
Limit(x*log(1 + x^(-2)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x^{2} \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}^{2} + \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}^{2}\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x^{2} \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}^{2} + \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}^{2}\right)}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x^{2} \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}^{2} + \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}^{2}\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x^{2} \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}^{2} + \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}^{2}\right)}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo