Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt[3]{x} + 1}}{\frac{d}{d x} 3 x^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{6 \sqrt[3]{x} \left(x^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{x} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{x} + 1}}{\frac{d}{d x} \left(- 6 \sqrt[3]{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right)}{2 \left(x^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right)}{2 \left(x^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)