Sr Examen

Otras calculadoras:

(e^tan(x)-e^x)/(-x+tan(x))
Límite de la función/ tan(x)/ (e^tan(x)-e^x)/(-x+tan(x))

Límite de la función (e^tan(x)-e^x)/(-x+tan(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     / tan(x)    x\
     |E       - E |
 lim |------------|
x->0+\-x + tan(x) /
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right) 
Limit((E^tan(x) - E^x)/(-x + tan(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(−x+tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \tan{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−ex+etan⁡(x))ddx(−x+tan⁡(x)))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x + \tan{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x)tan⁡2(x)+etan⁡(x)tan⁡2(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{2}{\left(x \right)} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−ex+etan⁡(x)tan⁡2(x)+etan⁡(x))ddxtan⁡2(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{2}{\left(x \right)} + e^{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+((tan⁡2(x)+1)etan⁡(x)tan⁡2(x)+(tan⁡2(x)+1)etan⁡(x)+(2tan⁡2(x)+2)etan⁡(x)tan⁡(x)−ex(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{2}{\left(x \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) e^{\tan{\left(x \right)}} + \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) e^{\tan{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} - e^{x}}{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x)tan⁡4(x)+2etan⁡(x)tan⁡3(x)+2etan⁡(x)tan⁡2(x)+2etan⁡(x)tan⁡(x)+etan⁡(x)2tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{4}{\left(x \right)} + 2 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{3}{\left(x \right)} + 2 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{2 \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−ex+etan⁡(x)tan⁡4(x)+2etan⁡(x)tan⁡3(x)+2etan⁡(x)tan⁡2(x)+2etan⁡(x)tan⁡(x)+etan⁡(x))ddx2tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{4}{\left(x \right)} + 2 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{3}{\left(x \right)} + 2 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} + e^{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} 2 \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x)tan⁡6(x)+6etan⁡(x)tan⁡5(x)+9etan⁡(x)tan⁡4(x)+12etan⁡(x)tan⁡3(x)+11etan⁡(x)tan⁡2(x)+6etan⁡(x)tan⁡(x)+3etan⁡(x)2tan⁡2(x)+2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{6}{\left(x \right)} + 6 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{5}{\left(x \right)} + 9 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{4}{\left(x \right)} + 12 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{3}{\left(x \right)} + 11 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{2}{\left(x \right)} + 6 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} + 3 e^{\tan{\left(x \right)}}}{2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2}\right)
=
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x)tan⁡6(x)+6etan⁡(x)tan⁡5(x)+9etan⁡(x)tan⁡4(x)+12etan⁡(x)tan⁡3(x)+11etan⁡(x)tan⁡2(x)+6etan⁡(x)tan⁡(x)+3etan⁡(x)2tan⁡2(x)+2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{6}{\left(x \right)} + 6 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{5}{\left(x \right)} + 9 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{4}{\left(x \right)} + 12 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{3}{\left(x \right)} + 11 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan^{2}{\left(x \right)} + 6 e^{\tan{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} + 3 e^{\tan{\left(x \right)}}}{2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2}\right)
=
11
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100100000000000
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))=1\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right) = 1
lim⁡x→∞(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))=−e−etan⁡(1)−1+tan⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right) = - \frac{e - e^{\tan{\left(1 \right)}}}{-1 + \tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))=−e−etan⁡(1)−1+tan⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right) = - \frac{e - e^{\tan{\left(1 \right)}}}{-1 + \tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1
11
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     / tan(x)    x\
     |E       - E |
 lim |------------|
x->0+\-x + tan(x) /
lim⁡x→0+(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right) 
1
11 
= 1.0
     / tan(x)    x\
     |E       - E |
 lim |------------|
x->0-\-x + tan(x) /
lim⁡x→0−(−ex+etan⁡(x)−x+tan⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- e^{x} + e^{\tan{\left(x \right)}}}{- x + \tan{\left(x \right)}}\right) 
1
11 
= 1.0
= 1.0
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
Gráfico
Límite de la función (e^tan(x)-e^x)/(-x+tan(x))
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