Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *log(cos(dos /x))
- x al cuadrado multiplicar por logaritmo de ( coseno de (2 dividir por x))
- x en el grado dos multiplicar por logaritmo de ( coseno de (dos dividir por x))
- x2*log(cos(2/x))
- x2*logcos2/x
- x²*log(cos(2/x))
- x en el grado 2*log(cos(2/x))
- x^2log(cos(2/x))
- x2log(cos(2/x))
- x2logcos2/x
- x^2logcos2/x
- x^2*log(cos(2 dividir por x))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sin(x))*tan(x)
- log(e+x)^(1/x)
- log(1+2*x)/x
- log((1+x)/(-1+x))
- log(x)/(1+x)
- Coseno cos
- cos(x)*sin(x)
- cos(m/x)^x
- cos(2*x)/sin(3*x)
- cos(x)*log(pi-2*x)
- cos(x)*log(x)/x^2
Límite de la función x^2*log(cos(2/x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 / /2\\\ lim |x *log|cos|-||| x->oo\ \ \x///
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right)$$
Limit(x^2*log(cos(2/x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{3}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(- \frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{3} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(- \frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{3}}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(- \frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{3}}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{3}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(- \frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{3} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(- \frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{3}}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(- \frac{3 x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}^{3}}{4 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = \log{\left(- \cos{\left(2 \right)} \right)} + i \pi$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = \log{\left(- \cos{\left(2 \right)} \right)} + i \pi$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = \log{\left(- \cos{\left(2 \right)} \right)} + i \pi$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = \log{\left(- \cos{\left(2 \right)} \right)} + i \pi$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo