Sr Examen

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1/tan(x)-1/sin(x)
Límite de la función/ sin(x)/ tan(x)/ 1/tan(x)-1/sin(x)

Límite de la función 1/tan(x)-1/sin(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  1        1   \
 lim |------ - ------|
x->0+\tan(x)   sin(x)/
lim⁡x→0+(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
Limit(1/tan(x) - 1/sin(x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(sin⁡(x)−tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(sin⁡(x)tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(sin⁡(x)−tan⁡(x)sin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(sin⁡(x)−tan⁡(x))ddxsin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(cos⁡(x)−tan⁡2(x)−1(tan⁡2(x)+1)sin⁡(x)+cos⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)} - 1}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(cos⁡(x)−tan⁡2(x)−1(tan⁡2(x)+1)sin⁡(x)+cos⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)} - 1}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500500
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0
lim⁡x→∞(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))=−tan⁡(1)+sin⁡(1)sin⁡(1)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{- \tan{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))=−tan⁡(1)+sin⁡(1)sin⁡(1)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{- \tan{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /  1        1   \
 lim |------ - ------|
x->0+\tan(x)   sin(x)/
lim⁡x→0+(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
0
00 
= -4.95349509297983e-32
     /  1        1   \
 lim |------ - ------|
x->0-\tan(x)   sin(x)/
lim⁡x→0−(1tan⁡(x)−1sin⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
0
00 
= 4.95349509297983e-32
= 4.95349509297983e-32
Respuesta numérica [src] 
-4.95349509297983e-32
-4.95349509297983e-32
Gráfico
Límite de la función 1/tan(x)-1/sin(x)
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