Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (- dos +x)/(- dos +sqrt(dos +x))
- ( menos 2 más x) dividir por ( menos 2 más raíz cuadrada de (2 más x))
- ( menos dos más x) dividir por ( menos dos más raíz cuadrada de (dos más x))
- (-2+x)/(-2+√(2+x))
- -2+x/-2+sqrt2+x
- (-2+x) dividir por (-2+sqrt(2+x))
-
Expresiones semejantes
- (2+x)/(-2+sqrt(2+x))
- (-2-x)/(-2+sqrt(2+x))
- (-2+x)/(2+sqrt(2+x))
- (-2+x)/(-2-sqrt(2+x))
- (-2+x)/(-2+sqrt(2-x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
Límite de la función (-2+x)/(-2+sqrt(2+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ -2 + x \
lim |--------------|
x->2+| _______|
\-2 + \/ 2 + x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right)$$
Limit((-2 + x)/(-2 + sqrt(2 + x)), x, 2)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x + 2} - 2$$
obtendremos
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(- \sqrt{x + 2} - 2\right)}{\left(- \sqrt{x + 2} - 2\right) \left(\sqrt{x + 2} - 2\right)}$$
=
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(- \sqrt{x + 2} - 2\right)}{2 - x}$$
=
$$\sqrt{x + 2} + 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x + 2} + 2\right)$$
=
$$4$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x + 2} - 2$$
obtendremos
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(- \sqrt{x + 2} - 2\right)}{\left(- \sqrt{x + 2} - 2\right) \left(\sqrt{x + 2} - 2\right)}$$
=
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(- \sqrt{x + 2} - 2\right)}{2 - x}$$
=
$$\sqrt{x + 2} + 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x + 2} + 2\right)$$
=
$$4$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x + 2} - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 2} - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(2 \sqrt{x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+} 4$$
=
$$\lim_{x \to 2^+} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x + 2} - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 2} - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(2 \sqrt{x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+} 4$$
=
$$\lim_{x \to 2^+} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ -2 + x \
lim |--------------|
x->2+| _______|
\-2 + \/ 2 + x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
/ -2 + x \
lim |--------------|
x->2-| _______|
\-2 + \/ 2 + x /
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
= 4.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = 4$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = - \frac{2}{-2 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = - \frac{2}{-2 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = - \frac{1}{-2 + \sqrt{3}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = - \frac{1}{-2 + \sqrt{3}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = - \frac{2}{-2 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = - \frac{2}{-2 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = - \frac{1}{-2 + \sqrt{3}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = - \frac{1}{-2 + \sqrt{3}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico