Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de -3+x
-
Límite de -7+5*x
-
Expresiones idénticas
- factorial(x)/(dos +x+x^ dos +x^ tres)
- factorial(x) dividir por (2 más x más x al cuadrado más x al cubo )
- factorial(x) dividir por (dos más x más x en el grado dos más x en el grado tres)
- factorial(x)/(2+x+x2+x3)
- factorialx/2+x+x2+x3
- factorial(x)/(2+x+x²+x³)
- factorial(x)/(2+x+x en el grado 2+x en el grado 3)
- factorialx/2+x+x^2+x^3
- factorial(x) dividir por (2+x+x^2+x^3)
-
Expresiones semejantes
- factorial(x)/(2-x+x^2+x^3)
- factorial(x)/(2+x-x^2+x^3)
- factorial(x)/(2+x+x^2-x^3)
-
Expresiones con funciones
- factorial
- factorial(1+x)/(2*factorial(x))
- factorial(n)*factorial(-1+5*n)/factorial(1+3*x)^2
- factorial(n)/(3+n)
- factorial(n)^2*Abs(factorial(2*3^(1+n)*(1+n))/(factorial(2*n*3^n)*factorial(1+n)^2))
- factorial(1+3*n)/factorial(n)^2
Límite de la función factorial(x)/(2+x+x^2+x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x! \
lim |---------------|
x->oo| 2 3|
\2 + x + x + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right)$$
Limit(factorial(x)/(2 + x + x^2 + x^3), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x! = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + x^{2} + x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x!}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x^{2} + x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{3 x^{2} + 2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,x + 1 \right)} + \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,x + 1 \right)}}{6 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,x + 1 \right)} + \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,x + 1 \right)}}{6 x + 2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x! = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + x^{2} + x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x!}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x^{2} + x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{3 x^{2} + 2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,x + 1 \right)} + \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,x + 1 \right)}}{6 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,x + 1 \right)} + \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,x + 1 \right)}}{6 x + 2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x!}{x^{3} + \left(x^{2} + \left(x + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo