Sr Examen

Otras calculadoras:


sqrt(5+x)-sqrt(x)

Límite de la función sqrt(5+x)-sqrt(x)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /  _______     ___\
 lim \\/ 5 + x  - \/ x /
x->oo                   
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right)$$
Limit(sqrt(5 + x) - sqrt(x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x} + \sqrt{x + 5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right) \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x + 5}\right)^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x + 5\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 5}}\right)$$

Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{x} \left(1 + \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{x + 5}{x}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5}{\left(\sqrt{5 u + 1} + 1\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{5}{\tilde{\infty} \left(1 + \sqrt{0 \cdot 5 + 1}\right)} = 0$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Respuesta rápida [src]
0
$$0$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico
Límite de la función sqrt(5+x)-sqrt(x)