Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \log{\left(a \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(a^{- \frac{1}{x}} x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(a^{\frac{1}{x}} - \frac{a^{\frac{1}{x}} \log{\left(a \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{\frac{1}{x}} \left(x - \log{\left(a \right)}\right)}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(x - \log{\left(a \right)}\right)}{\frac{\partial}{\partial x} a^{- \frac{1}{x}} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^{- \frac{1}{x}} + \frac{a^{- \frac{1}{x}} \log{\left(a \right)}}{x}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^{- \frac{1}{x}} + \frac{a^{- \frac{1}{x}} \log{\left(a \right)}}{x}}$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)