Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(2 x + 1 \right)}^{2} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin^{2}{\left(6 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}^{2}}{\sin^{2}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2 x + 1 \right)}^{2}}{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{3 \left(2 x + 1\right) \sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{3 \sin{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{3 \sin{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{9}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)