Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- tan(dos *x)/(tres *x)
- tangente de (2 multiplicar por x) dividir por (3 multiplicar por x)
- tangente de (dos multiplicar por x) dividir por (tres multiplicar por x)
- tan(2x)/(3x)
- tan2x/3x
- tan(2*x) dividir por (3*x)
-
Expresiones semejantes
- (-sin(2*x)+tan(2*x))/(3*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Tangente tan
- tan(3*x)/(2*sin(x))
- tan(x)/sin(2*x)
- tan(5*x)/sin(2*x)
- tan(4*x)/sin(x)
- tan(k*x)/x
Límite de la función tan(2*x)/(3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/tan(2*x)\ lim |--------| x->0+\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
Limit(tan(2*x)/((3*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{1}{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = 2 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{3 u}\right)$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{1}{3 x} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 x} \sin{\left(2 x \right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = 2 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{3 u}\right)$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} 3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{2}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{2}{3}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} 3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{2}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{2}{3}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/tan(2*x)\ lim |--------| x->0+\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
2/3
$$\frac{2}{3}$$
= 0.666666666666667
/tan(2*x)\ lim |--------| x->0-\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3 x}\right)$$
2/3
$$\frac{2}{3}$$
= 0.666666666666667
= 0.666666666666667
Gráfico