Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(3 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x^{2}} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(3 x \right)}}{e^{2 x^{2}} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(3 x \right)}}{e^{2 x^{2}} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x^{2}} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(6 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 6\right) e^{- 2 x^{2}} \tan{\left(3 x \right)}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(3 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \tan{\left(3 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\frac{9}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)