Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x)-sqrt(- cuatro +x)
- raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de ( menos 4 más x)
- raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de ( menos cuatro más x)
- √(x)-√(-4+x)
- sqrtx-sqrt-4+x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x)-sqrt(4+x)
- sqrt(x)+sqrt(-4+x)
- -16+sqrt(2-sqrt(x))-sqrt(-4+x)/x^2
- sqrt(x)-sqrt(-4-x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(4+x^2)-10*x
- sqrt(-3+x)/(sqrt(x)-sqrt(3))
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(2+x^2)
- sqrt(-4+x^2)/(-2+x)
- sqrt(1+x^2+3*x)-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(4+x^2)-10*x
- sqrt(-3+x)/(sqrt(x)-sqrt(3))
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(2+x^2)
- sqrt(-4+x^2)/(-2+x)
- sqrt(1+x^2+3*x)-x
Límite de la función sqrt(x)-sqrt(-4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ ________\ lim \\/ x - \/ -4 + x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right)$$
Limit(sqrt(x) - sqrt(-4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) \left(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - \left(\sqrt{x - 4}\right)^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \left(4 - x\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} \left(1 + \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{x - 4}{x}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4}{\left(\sqrt{1 - 4 u} + 1\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{4}{\tilde{\infty} \left(1 + \sqrt{1 - 0}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) \left(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - \left(\sqrt{x - 4}\right)^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \left(4 - x\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} \left(1 + \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{x - 4}{x}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4}{\left(\sqrt{1 - 4 u} + 1\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{4}{\tilde{\infty} \left(1 + \sqrt{1 - 0}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = - 2 i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = - 2 i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = 1 - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = 1 - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = - 2 i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = - 2 i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = 1 - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = 1 - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - \sqrt{x - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo