Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{n} n!\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} 4^{n} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{- n} n^{n} n!\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{- n} n^{n} n!\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{n} n!}{\frac{d}{d n} 4^{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{- n} \left(n^{n} \log{\left(n \right)} n! + n^{n} n! + n^{n} \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}\right)}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{- n} \left(n^{n} \log{\left(n \right)} n! + n^{n} n! + n^{n} \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}\right)}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)