Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +sqrt(- uno +x)-x^ dos / dos)/x^ dos
- ( menos 1 más raíz cuadrada de ( menos 1 más x) menos x al cuadrado dividir por 2) dividir por x al cuadrado
- ( menos uno más raíz cuadrada de ( menos uno más x) menos x en el grado dos dividir por dos) dividir por x en el grado dos
- (-1+√(-1+x)-x^2/2)/x^2
- (-1+sqrt(-1+x)-x2/2)/x2
- -1+sqrt-1+x-x2/2/x2
- (-1+sqrt(-1+x)-x²/2)/x²
- (-1+sqrt(-1+x)-x en el grado 2/2)/x en el grado 2
- -1+sqrt-1+x-x^2/2/x^2
- (-1+sqrt(-1+x)-x^2 dividir por 2) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (-1-sqrt(-1+x)-x^2/2)/x^2
- (1+sqrt(-1+x)-x^2/2)/x^2
- (-1+sqrt(-1-x)-x^2/2)/x^2
- (-1+sqrt(1+x)-x^2/2)/x^2
- (-1+sqrt(-1+x)+x^2/2)/x^2
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)-x
- sqrt(x^2-x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
Límite de la función (-1+sqrt(-1+x)-x^2/2)/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
| ________ x |
|-1 + \/ -1 + x - --|
| 2 |
lim |--------------------|
x->oo| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right)$$
Limit((-1 + sqrt(-1 + x) - x^2/2)/x^2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 2 \sqrt{x - 1} - 2\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 2 \sqrt{x - 1} - 2}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 2 \sqrt{x - 1} - 2\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2} - \frac{1}{8 \left(x \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2} - \frac{1}{8 \left(x \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 2 \sqrt{x - 1} - 2\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 2 \sqrt{x - 1} - 2}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 2 \sqrt{x - 1} - 2\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2} - \frac{1}{8 \left(x \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2} - \frac{1}{8 \left(x \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{2} + \left(\sqrt{x - 1} - 1\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo