Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+} \operatorname{asin}{\left(x - 3 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{\cot{\left(x - 3 \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\cot{\left(x - 3 \right)} \operatorname{asin}{\left(x - 3 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(x - 3 \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(x - 3 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\cot^{2}{\left(x - 3 \right)}}\right) \sqrt{- x^{2} + 6 x - 8}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\cot^{2}{\left(x - 3 \right)}}\right) \sqrt{- x^{2} + 6 x - 8}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)