Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + 1}{x + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + \sqrt{x + 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}}$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)