Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((- cuatro +x)/(- uno +x))^(dos *x*atan(x))
- (( menos 4 más x) dividir por ( menos 1 más x)) en el grado (2 multiplicar por x multiplicar por arco tangente de gente de (x))
- (( menos cuatro más x) dividir por ( menos uno más x)) en el grado (dos multiplicar por x multiplicar por arco tangente de gente de (x))
- ((-4+x)/(-1+x))(2*x*atan(x))
- -4+x/-1+x2*x*atanx
- ((-4+x)/(-1+x))^(2xatan(x))
- ((-4+x)/(-1+x))(2xatan(x))
- -4+x/-1+x2xatanx
- -4+x/-1+x^2xatanx
- ((-4+x) dividir por (-1+x))^(2*x*atan(x))
-
Expresiones semejantes
- ((-4-x)/(-1+x))^(2*x*atan(x))
- ((-4+x)/(1+x))^(2*x*atan(x))
- ((-4+x)/(-1-x))^(2*x*atan(x))
- ((4+x)/(-1+x))^(2*x*atan(x))
- ((-4+x)/(-1+x))^(2*x*arctan(x))
- ((-4+x)/(-1+x))^(2*x*arctanx)
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(-5+x)/(5+x^2-6*x)
- atan(x^2-2*x)/sin(3*pi*x)
- atan(x/(n^4+x^4))
- atan(5^(-n))^n*atan(5^(-1-n))^(-1-n)
- atan(n/5)^n
Límite de la función ((-4+x)/(-1+x))^(2*x*atan(x))
Solución
Ha introducido
[src]
2*x*atan(x)
/-4 + x\
lim |------|
x->oo\-1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
Limit(((-4 + x)/(-1 + x))^((2*x)*atan(x)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) - 3}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\pi}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}{u}} = e^{\frac{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = e^{- 3 \pi}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) - 3}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\pi}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}{u}} = e^{\frac{- 2 \left(1 - 3 u\right) \operatorname{atan}{\left(3 u - 1 \right)} - \frac{\pi}{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = e^{- 3 \pi}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = e^{- 3 \pi}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = \infty \operatorname{sign}{\left(e^{\frac{i \pi^{2}}{2}} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = e^{3 \pi}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = \infty \operatorname{sign}{\left(e^{\frac{i \pi^{2}}{2}} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 4}{x - 1}\right)^{2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = e^{3 \pi}$$
Más detalles con x→-oo