Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \operatorname{atan}{\left(x \left(x - 2\right) \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+} \sin{\left(3 \pi x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - 2 x \right)}}{\sin{\left(3 \pi x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \left(x - 2\right) \right)}}{\sin{\left(3 \pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x \left(x - 2\right) \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(3 \pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 x - 2}{3 \pi \left(x^{2} \left(x - 2\right)^{2} + 1\right) \cos{\left(3 \pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2}{3 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2}{3 \pi}\right)$$
=
$$\frac{2}{3 \pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)