Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{7}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{7 - 7 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{7 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{7}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{7 \left(9 x^{2} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{7 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{7 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)