Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+sqrt(-1+x))/(-5+x)
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de (1-cos(2*x))/x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Expresiones idénticas
- (- tres +sqrt(uno + ocho *x^ dos))/(x^ dos -x)
- ( menos 3 más raíz cuadrada de (1 más 8 multiplicar por x al cuadrado )) dividir por (x al cuadrado menos x)
- ( menos tres más raíz cuadrada de (uno más ocho multiplicar por x en el grado dos)) dividir por (x en el grado dos menos x)
- (-3+√(1+8*x^2))/(x^2-x)
- (-3+sqrt(1+8*x2))/(x2-x)
- -3+sqrt1+8*x2/x2-x
- (-3+sqrt(1+8*x²))/(x²-x)
- (-3+sqrt(1+8*x en el grado 2))/(x en el grado 2-x)
- (-3+sqrt(1+8x^2))/(x^2-x)
- (-3+sqrt(1+8x2))/(x2-x)
- -3+sqrt1+8x2/x2-x
- -3+sqrt1+8x^2/x^2-x
- (-3+sqrt(1+8*x^2)) dividir por (x^2-x)
-
Expresiones semejantes
- (-3+sqrt(1-8*x^2))/(x^2-x)
- (-3+sqrt(1+8*x^2))/(x^2+x)
- (3+sqrt(1+8*x^2))/(x^2-x)
- (-3-sqrt(1+8*x^2))/(x^2-x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+3*x)-x
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(x)*(pi-2*atan(sqrt(x)))
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
Límite de la función (-3+sqrt(1+8*x^2))/(x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________\
| / 2 |
|-3 + \/ 1 + 8*x |
lim |------------------|
x->1+| 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right)$$
Limit((-3 + sqrt(1 + 8*x^2))/(x^2 - x), x, 1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x} \left(\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3\right)}{\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3}$$
=
$$\frac{8 x^{2} - 8}{x \left(x - 1\right) \left(\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3\right)}$$
=
$$\frac{8 + \frac{8}{x}}{\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 + \frac{8}{x}}{\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3}\right)$$
=
$$\frac{8}{3}$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x} \left(\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3\right)}{\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3}$$
=
$$\frac{8 x^{2} - 8}{x \left(x - 1\right) \left(\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3\right)}$$
=
$$\frac{8 + \frac{8}{x}}{\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 + \frac{8}{x}}{\sqrt{8 x^{2} + 1} + 3}\right)$$
=
$$\frac{8}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x}{\left(2 x - 1\right) \sqrt{8 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8}{3 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8}{3 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{8}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x}{\left(2 x - 1\right) \sqrt{8 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8}{3 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8}{3 \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{8}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = \frac{8}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = \frac{8}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = \frac{8}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ __________\
| / 2 |
|-3 + \/ 1 + 8*x |
lim |------------------|
x->1+| 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right)$$
8/3
$$\frac{8}{3}$$
= 2.66666666666667
/ __________\
| / 2 |
|-3 + \/ 1 + 8*x |
lim |------------------|
x->1-| 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1} - 3}{x^{2} - x}\right)$$
8/3
$$\frac{8}{3}$$
= 2.66666666666667
= 2.66666666666667
Gráfico