Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- dos *x*log((- uno / dos +x)/(- dos / tres +x))
- 2 multiplicar por x multiplicar por logaritmo de (( menos 1 dividir por 2 más x) dividir por ( menos 2 dividir por 3 más x))
- dos multiplicar por x multiplicar por logaritmo de (( menos uno dividir por dos más x) dividir por ( menos dos dividir por tres más x))
- 2xlog((-1/2+x)/(-2/3+x))
- 2xlog-1/2+x/-2/3+x
- 2*x*log((-1 dividir por 2+x) dividir por (-2 dividir por 3+x))
-
Expresiones semejantes
- 2*x*log((-1/2-x)/(-2/3+x))
- 2*x*log((-1/2+x)/(-2/3-x))
- 2*x*log((1/2+x)/(-2/3+x))
- 2*x*log((-1/2+x)/(2/3+x))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+sin(2*x)^2)/(1-cos(x)^2)
- log(x)^(-2)
- log(1+sin(x))*sin(x)/((1-cos(x))*(-1+e^x))
- log(7+x)/(-3+x)^(1/7)
- log((3+x^2)/x^2)
Límite de la función 2*x*log((-1/2+x)/(-2/3+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ /-1/2 + x\\ lim |2*x*log|--------|| x->oo\ \-2/3 + x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right)$$
Limit((2*x)*log((-1/2 + x)/(-2/3 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)}{2 \left(3 x - 2\right)} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \log{\left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)}{2 \left(3 x - 2\right)} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)}{2 \left(3 x - 2\right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{3 x}{6 x \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 12 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 x \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 6 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}} + \frac{2}{6 x \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 12 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 x \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 6 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}\right) \left(- \frac{9 x}{9 x^{2} - 12 x + 4} + \frac{9}{2 \left(9 x^{2} - 12 x + 4\right)} + \frac{3}{3 x - 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{3 x}{6 x \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 12 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 x \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 6 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}} + \frac{2}{6 x \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 12 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 x \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 6 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}\right) \left(- \frac{9 x}{9 x^{2} - 12 x + 4} + \frac{9}{2 \left(9 x^{2} - 12 x + 4\right)} + \frac{3}{3 x - 2}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)}{2 \left(3 x - 2\right)} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \log{\left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)}{2 \left(3 x - 2\right)} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{3 \left(2 x - 1\right)}{2 \left(3 x - 2\right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{3 x}{6 x \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 12 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 x \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 6 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}} + \frac{2}{6 x \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 12 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 x \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 6 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}\right) \left(- \frac{9 x}{9 x^{2} - 12 x + 4} + \frac{9}{2 \left(9 x^{2} - 12 x + 4\right)} + \frac{3}{3 x - 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{3 x}{6 x \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 12 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 x \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 6 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}} + \frac{2}{6 x \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 12 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 12 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 x \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)}^{2} - 6 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} - \frac{1}{3 x - 2} \right)} - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} - 3 \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}\right) \left(- \frac{9 x}{9 x^{2} - 12 x + 4} + \frac{9}{2 \left(9 x^{2} - 12 x + 4\right)} + \frac{3}{3 x - 2}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = - 2 \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = - 2 \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = - 2 \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = - 2 \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x \log{\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{x - \frac{2}{3}} \right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo