Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- x/(sqrt(x^ dos)+sqrt(x+x^ dos))
- x dividir por ( raíz cuadrada de (x al cuadrado ) más raíz cuadrada de (x más x al cuadrado ))
- x dividir por ( raíz cuadrada de (x en el grado dos) más raíz cuadrada de (x más x en el grado dos))
- x/(√(x^2)+√(x+x^2))
- x/(sqrt(x2)+sqrt(x+x2))
- x/sqrtx2+sqrtx+x2
- x/(sqrt(x²)+sqrt(x+x²))
- x/(sqrt(x en el grado 2)+sqrt(x+x en el grado 2))
- x/sqrtx^2+sqrtx+x^2
- x dividir por (sqrt(x^2)+sqrt(x+x^2))
-
Expresiones semejantes
- x/(sqrt(x^2)+sqrt(x-x^2))
- x/(sqrt(x^2)-sqrt(x+x^2))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
Límite de la función x/(sqrt(x^2)+sqrt(x+x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
lim |---------------------|
x->oo| ____ ________|
| / 2 / 2 |
\\/ x + \/ x + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
Limit(x/(sqrt(x^2) + sqrt(x + x^2)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x \left(x + 1\right)} + \sqrt{x^{2}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x \left(x + 1\right)} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x \left(x + 1\right)} + \sqrt{x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}} + \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}} + \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x \left(x + 1\right)} + \sqrt{x^{2}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x \left(x + 1\right)} + \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x \left(x + 1\right)} + \sqrt{x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}} + \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}} + \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2}}}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo