Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (5-x^2+2*x^3+3*x^4+5*x)/(1+x^3)
-
Límite de 3*asin(x)/(4*x)
-
Límite de (1-2*x+2*x^3)/(2+3*x^2+4*x)
-
Límite de (-16+2^x)/(-1+5*sqrt(x)*(5-x))
-
Expresiones idénticas
- (sqrt(n)+sqrt(n+atan(n)))/(sqrt(uno +n)+sqrt(uno +n+atan(uno +n)))
- ( raíz cuadrada de (n) más raíz cuadrada de (n más arco tangente de gente de (n))) dividir por ( raíz cuadrada de (1 más n) más raíz cuadrada de (1 más n más arco tangente de gente de (1 más n)))
- ( raíz cuadrada de (n) más raíz cuadrada de (n más arco tangente de gente de (n))) dividir por ( raíz cuadrada de (uno más n) más raíz cuadrada de (uno más n más arco tangente de gente de (uno más n)))
- (√(n)+√(n+atan(n)))/(√(1+n)+√(1+n+atan(1+n)))
- sqrtn+sqrtn+atann/sqrt1+n+sqrt1+n+atan1+n
- (sqrt(n)+sqrt(n+atan(n))) dividir por (sqrt(1+n)+sqrt(1+n+atan(1+n)))
-
Expresiones semejantes
- (sqrt(n)+sqrt(n+atan(n)))/(sqrt(1+n)-sqrt(1+n+atan(1+n)))
- (sqrt(n)+sqrt(n+atan(n)))/(sqrt(1+n)+sqrt(1-n+atan(1+n)))
- (sqrt(n)+sqrt(n-atan(n)))/(sqrt(1+n)+sqrt(1+n+atan(1+n)))
- (sqrt(n)-sqrt(n+atan(n)))/(sqrt(1+n)+sqrt(1+n+atan(1+n)))
- (sqrt(n)+sqrt(n+atan(n)))/(sqrt(1+n)+sqrt(1+n+atan(1-n)))
- (sqrt(n)+sqrt(n+atan(n)))/(sqrt(1+n)+sqrt(1+n-atan(1+n)))
- (sqrt(n)+sqrt(n+atan(n)))/(sqrt(1-n)+sqrt(1+n+atan(1+n)))
- (sqrt(n)+sqrt(n+arctan(n)))/(sqrt(1+n)+sqrt(1+n+arctan(1+n)))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x*(-6+x))-x
- sqrt(-7+t)
- sqrt(7+x^2+4*x)-sqrt(1+x^2-5*x)
- sqrt(8+x)-sqrt(8-x)
- sqrt(4+x^4)-sqrt(2+x^4-6*x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x*(-6+x))-x
- sqrt(-7+t)
- sqrt(7+x^2+4*x)-sqrt(1+x^2-5*x)
- sqrt(8+x)-sqrt(8-x)
- sqrt(4+x^4)-sqrt(2+x^4-6*x^2)
- Arcotangente arctan
- atan(2*x)/sin(x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x*(-6+x))-x
- sqrt(-7+t)
- sqrt(7+x^2+4*x)-sqrt(1+x^2-5*x)
- sqrt(8+x)-sqrt(8-x)
- sqrt(4+x^4)-sqrt(2+x^4-6*x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x*(-6+x))-x
- sqrt(-7+t)
- sqrt(7+x^2+4*x)-sqrt(1+x^2-5*x)
- sqrt(8+x)-sqrt(8-x)
- sqrt(4+x^4)-sqrt(2+x^4-6*x^2)
- Arcotangente arctan
- atan(2*x)/sin(x)
Límite de la función (sqrt(n)+sqrt(n+atan(n)))/(sqrt(1+n)+sqrt(1+n+atan(1+n)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ _____________ \
| \/ n + \/ n + atan(n) |
lim |-----------------------------------|
n->oo| _______ _____________________|
\\/ 1 + n + \/ 1 + n + atan(1 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right)$$
Limit((sqrt(n) + sqrt(n + atan(n)))/(sqrt(1 + n) + sqrt(1 + n + atan(1 + n))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}\right)}{\frac{d}{d n} \left(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 n^{2} \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}} + 2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{n}}}{\frac{1}{2 n^{2} \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1} + 4 n \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1} + 4 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 n^{2} \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}} + 2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{n}}}{\frac{1}{2 n^{2} \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1} + 4 n \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1} + 4 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}\right)}{\frac{d}{d n} \left(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 n^{2} \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}} + 2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{n}}}{\frac{1}{2 n^{2} \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1} + 4 n \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1} + 4 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 n^{2} \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}} + 2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}} + \frac{1}{2 \sqrt{n}}}{\frac{1}{2 n^{2} \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1} + 4 n \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1} + 4 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)} + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = \frac{2 + \sqrt{\pi + 4}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 \right)} + 2}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = \frac{2 + \sqrt{\pi + 4}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 \right)} + 2}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = \frac{2 + \sqrt{\pi + 4}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 \right)} + 2}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = \frac{2 + \sqrt{\pi + 4}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 \right)} + 2}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n + \operatorname{atan}{\left(n \right)}}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{\left(n + 1\right) + \operatorname{atan}{\left(n + 1 \right)}}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo