Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- x*log(x/(uno +x))
- x multiplicar por logaritmo de (x dividir por (1 más x))
- x multiplicar por logaritmo de (x dividir por (uno más x))
- xlog(x/(1+x))
- xlogx/1+x
- x*log(x dividir por (1+x))
-
Expresiones semejantes
- x*log(x/(1-x))
- x*log(x)/(1+x^2)
- x*a^(-x)*log(x)/((1+x)*log(1+x))
- x*log(x)/(1+x)^2
- x*log(x)/(1+x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sin(x))*tan(x)
- log(e+x)^(1/x)
- log(1+2*x)/x
- log((1+x)/(-1+x))
- log(x)/(1+x)
Límite de la función x*log(x/(1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x \\ lim |x*log|-----|| x->oo\ \1 + x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right)$$
Limit(x*log(x/(1 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right) \left(- \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{1}{x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right) \left(- \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{1}{x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right) \left(- \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{1}{x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right) \left(- \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{1}{x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = - \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = - \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = - \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = - \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico