Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +cos(x))/x^ dos
- ( menos 1 más coseno de (x)) dividir por x al cuadrado
- ( menos uno más coseno de (x)) dividir por x en el grado dos
- (-1+cos(x))/x2
- -1+cosx/x2
- (-1+cos(x))/x²
- (-1+cos(x))/x en el grado 2
- -1+cosx/x^2
- (-1+cos(x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (1+cos(x))/x^2
- (-1-cos(x))/x^2
- (-1+cosx)/x^2
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)^(1/x)
- cos(2*x)^(3/x^2)
- cos(x)*sin(x)/x
- cos(3*x)*sin(2*x)/(cot(4*x)*sin(x))
- cos(4*x)
Límite de la función (-1+cos(x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/-1 + cos(x)\
lim |-----------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
Limit((-1 + cos(x))/x^2, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2} = - 2 \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}$$
=
$$- \frac{2}{4}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2} = - 2 \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}$$
=
$$- \frac{2}{4}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/-1 + cos(x)\
lim |-----------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
= -0.5
/-1 + cos(x)\
lim |-----------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
= -0.5
= -0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico