Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 9} - 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x}{\sqrt{x - 9} - 3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x}{\sqrt{x - 9} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 x}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x - 9} - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 \sqrt{x - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 \sqrt{x - 9}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)