Tomamos como el límite $$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 x - 1} - \sqrt{2 x + 1}\right)$$ Eliminamos la indeterminación oo - oo Multiplicamos y dividimos por $$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x + 1}$$ entonces $$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 x - 1} - \sqrt{2 x + 1}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{2 x - 1} - \sqrt{2 x + 1}\right) \left(\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x + 1}\right)}{\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x + 1}}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{2 x - 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{2 x + 1}\right)^{2}}{\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x + 1}}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x - 1\right) + \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x + 1}}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x): $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{x} \left(\frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{2 x + 1}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{2 x - 1}{x}} + \sqrt{\frac{2 x + 1}{x}}\right)}\right)$$ = $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{2 - \frac{1}{x}} + \sqrt{2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$ Sustituimos $$u = \frac{1}{x}$$ entonces $$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{2 - \frac{1}{x}} + \sqrt{2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$ = $$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{2}{\left(\sqrt{2 - u} + \sqrt{u + 2}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ = = $$- \frac{2}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{2} + \sqrt{2 - 0}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es: $$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 x - 1} - \sqrt{2 x + 1}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo