Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)}^{3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{3}{4}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x^{\frac{3}{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}^{3}}{\frac{d}{d x} x^{\frac{3}{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{\frac{3}{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{x^{\frac{3}{4}}}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{32 \log{\left(x \right)}}{3 x^{\frac{3}{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{32 \log{\left(x \right)}}{3 x^{\frac{3}{4}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)